Unidad 1. Números naturales y operaciones
1. Sistema de numeración decimal.
Se llama así porque las unidades aumentan y disminuye de diez en diez.
1 decena = 10 unidades 1 D =10 U
1 centena = 10 decenas 1 C = 10 D
1 unidad de millar = 10 centenas 1 UM = 10 C
1 decena de millar = 10 unidades de millar 1 DM = 10 UM
(Y así sucesivamente)
1 D = 10 U
1 C = 10 D
1 UM = 10 C
1 DM = 10 UM
2. Nomenclatura a seguir
U = unidades, D = decenas, C = centenas,
UM = unidades de millar, DM = decenas de millar,
CM = centenas de millar, uM = unidades de millón,
dM = decenas de millón y cM = centenas de millón.
3. El valor relativo de las cifras
El valor de una cifra depende del lugar donde vaya colocada en el número.
Ejemplo.
Una misma cifra 3 en el número 535 vale 30 porque
Representa 3 decenas. En el número 30.268 vale 30.000 ya
que representa 3 decenas de millar.
4. Lectura y escritura de números naturales
Para leer un número se separan las cifras en grupos de tres y se coloca un
punto. Luego se lee cada grupo por separado y en los puntos se dice millones y mil.
Ejemplo.
El número 35.792.074 se lee “treinta y cinco millones setecientos noventa y
dos mil setenta y cuatro”.
5. Descomposición de números naturales
Puede servir de ayuda la construcción de tabla donde figuren los distintos órdenes de unidades.
M I L L O N E S
|
M I L L A R E S
|
U N I D A D E S
| ||||||
cM
|
cD
|
uM
|
CM
|
DM
|
UM
|
C
|
D
|
U
|
3
|
5
|
7
|
9
|
2
|
0
|
7
|
4
| |
Ejemplo.
35.792.074 = 3 dM + 5 uM + 7 CM + 9 DM + 2 UM + 0 C + 7 D + 4 U
35.792.074 = 30.000.000 + 5.000.000 + 700.000 + 90.000 + 2.000 + 0 + 70 + 4
La cifra 7, que aparece dos veces, según sea decenas de millar CM o decenas D, tiene diferente valor (700.000 ó 70).
6. Ordenación de números naturales
Para ordenar los números naturales.
1º) Vemos si tienen distinta cantidad de cifras. En tal caso será más pequeño
el que menos cifras tenga.
2º) Si tienen la mima cantidad de cifras, comparamos las primeras cifras (de
la izquierda) y es mayor el que tenga la primera cifra mayor. Cifras
3º) Si tienen la primera cifra igual, se compara la segunda y así
sucesivamente.
Ejemplo.
12.424 > 9.525 porque el primero tiene 5 cifras.
25.678 > 25.600 porque ambos comienzan por 256 y en cuarto lugar (lugar
de las decenas) el primero lleva un 7 y el segundo un 0, que es menor.
7. Términos de la suma
Los términos de la suma se llaman sumandos y el resultado suma o total
8. Suma de números naturales
Para sumar números naturales se colocan en columna
unidades con unidades, decenas con decenas, centenas
CM
|
DM
|
UM
|
C
|
D
|
U
|
5
|
6
|
8
|
9
|
1
| |
2
|
5
|
2
| |||
+
|
4
|
3
|
7
|
0
| |
1
|
5
| ||||
6
|
1
|
5
|
2
|
8
| |
con centenas y así sucesivamente.
Ejemplo.
56.891 + 252 + 4.370 + 15 = 61.528
56.891, 252, 4.370 y 15 son los sumandos.
61.528 es la suma o total.
9. Propiedades de la suma de números naturales
Propiedad conmutativa: El orden de los sumandos no altera el resultado. Al
sumar dos números da igual sumar el primero con el segundo que el segundo
con el primero.
Ejemplo.
4 + 5 = 5 + 4 4 + 5 = 9 5 + 4 = 9
Propiedad asociativa: Al sumar tres números da igual sumar los dos primeros
y lo que salga sumarlo con el tercero que sumar los dos últimos y lo que salga
sumarlo con el primero.
Ejemplo.
(4 + 5) + 6 = 4 + (5 + 6)
(4 + 5) + 6 = 9 + 6 =15 4 + (5 + 6) = 4 + 11 = 15
10. Términos de la resta
Los términos de la resta se denominan minuendo al de arriba, sustraendo al
de abajo y resta o diferencia al resultado que se obtiene.
11. resta de números naturales
Para sumar números naturales se colocan en columna unidades con unidades,
decenas con decenas, centenas con centenas y así sucesivamente. Se comienza a
restar por las unidades (parte izquierda).
Ejemplo.
Operación: 90.164 – 5.348 = 84.816 Si el número de arriba o del
Minuendo = 90.164 minuendo es menor que el del
Sustraendo = 5.348 sustraendo, se le suman 10 y nos
Resta o diferencia = 84.816 llevamos una para la siguiente
12. Prueba de la resta
Una resta está bien hecha cuando sumamos el sustraendo con la diferencia y nos
sale el minuendo.
Minuendo = sustraendo + diferencia
Ejemplo.
5.349 + 84.816 = 90.164
Como al sumar el sustraendo con la diferencia sale el minuendo, podemos
afirmar que la resta está bien hecha.
13. TÉRMINOS DE LA MULTIPLICACIÓN
Una multiplicación es una suma de sumandos iguales.
5 + 5 + 5 + 5 = 5 x 4 = 20
Los números que se multiplican se llaman factores y el resultado producto.
Generalmente al número de arriba o número primero se denomina multiplicando y
al segundo número o número de abajo multiplicador4 y 5 son los factores, 4 es el
multiplicando, 5 el multiplicador y 20 el producto.
14. MULTIPLIACIÓN DE NÚMEROS NATURALES
Para multiplicar un número por otro de varias cifras:
1º Se multiplica el primer factor por la cifra de las unidades del segundo.
2º Se multiplica el primer factor por la cifra de las decenas del segundo y se anota
debajo, pero empezando a colocar las cifras debajo de la columna de las decenas
(porque multiplicamos decenas).
3º Se multiplica el primer factor por la cifra de las centenas del segundo y se
anota debajo, pero empezando a colocar cifras debajo de las cifras de las centenas (porque multiplicamos centenas).
4º Y así sucesivamente.
5º Finalmente sumamos los resultados anteriores y obtenemos el producto.
15. PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN
Propiedad conmutativa: El orden de los factores no altera el producto. Al multiplicar
dos números da igual multiplicar el primero por el segundo que multiplicar el segundo por el primero, el resultado no varía.
Ejemplo:
4 x 5 = 5 x 4 4 x 5 = 20 5 x 4 = 20
Propiedad asociativa:
Al multiplicar tres números da igual multiplicar los dos primeros y lo que salga
por el tercero que multiplicar los dos últimos y lo que salga por el primero.
Ejemplo:
(4 x 5) x 6 = 4 x (5 x 6)
(4 x 5) x 6 = 20 x 6 = 120 4 x (5 x 6) = 4 x 30 = 120
Propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la suma: El producto de un
número por una suma es igual a la suma de los productos de ese número por cada uno de los sumandos.
Ejemplo:
4 x (5 + 3) = (4 x 5) + (4 x 3)
4 x (5 + 3) = 4 x 8 = 32 (4 x 5) + (4 x 3) = 20 + 12 = 32
Propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la diferencia: El producto
de un número por una diferencia es igual a la diferencia de los productos de ese número por cada uno de los números restados.
Ejemplo:
4 x (5 - 3) = (4 x 5) - (4 x 3)
4 x (5 - 3) = 4 x 2 = 8 (4 x 5) - (4 x 3) = 20 + 12 = 8
16. SACAR FACTOR COMÚN
Si queremos sacar factor común en una suma o en una diferencia, es como aplicar la
propiedad distributiva pero al revés, es decir: el número que se repite o factor común se saca fuera y el resto se deja dentro del paréntesis, en forma de resta o suma, según se trate.
Ejemplo:
(4 x 5) + (4 x 3) + (4 x 6) = 4 x (5 + 3 + 6) el factor común es el 4
(4 x 5) - (4 x 3) = 4 x (5 – 3) el factor común es el 4
17. MULTIPLICACIÓN POR LA UNIDAD SEGUIDA DE CEROS
Para multiplicar un número por 10, por 100, por 1.000..., basta añadir al número
tantos ceros como acompañan a la unidad.
Ejemplo:
35 x 100 = 3.500 624 x 1000 = 624.000
18. MULTIPLICACIÓN POR NÚMEROS TERMINADOS EN CEROS
Para multiplicar números que acaban en cero primero multiplicamos los números
sin ceros y después añadimos tantos ceros como tengan entre los dos números
multiplicados.
Ejemplo:
150 x 300 = 45.000
19. TÉRMINOS DE LA DIVISIÓN
Los términos de la división son dividendo, divisor, cociente y resto.
12.694.502: 326 = 38.940 y sobran 62
Dividendo: número que se reparte o divide (12.694.502).
Divisor: número de partes que se hacen o número por el que se divide (326).
Cociente: Resultado de la división (38.940).
Resto: lo que sobra del reparto o división (62).
D = 12.694.502 d = 326 c = 38.940 r = 62
20. DIVISIÓN DE NÚMEROS NATURALES
Dividir es repartir en partes iguales. Para realizar una división de números
naturales:
1º Comprobamos cuantas cifras tiene el divisor y separamos en el dividendo el
mismo número de cifras que tiene el divisor (comenzando por la izquierda).
2º Si el número formado es menor que el divisor, se coge una cifra más.
3º Buscamos la cifra que multiplicada por el divisor se aproxime más a las cifras
separadas en el dividendo y la escribimos en el cociente.
4º Si nos pasamos, cogemos la cifra anterior en el cociente.
5º Multiplicamos la cifra escrita en el cociente por el divisor y el resultado se lo
vamos restando a las cifras separadas en el dividendo.
6º Comprobamos que la cifra que nos queda en el resto es menor que el divisor.
7º Bajamos la siguiente cifra del dividendo y volvemos a repetir los pasos anteriores
hasta que se terminen las cifras del dividendo.
21. PROPIEDAD DEL RESTO
En una división bien realizada el resto debe ser siempre menor que el divisor. En
la división anterior: r = 62 < d = 326.
r < d
22. DIVISIÓN EXACTA Y DIVISIÓN ENTERA
Una división es exacta cuando el resto
es cero.
Ejemplo.
24 : 6 = 4 es una división exacta porque si repartimos 24 caramelos entre 6 niños, a cada uno le tocan 4 caramelos y no sobra ninguno. El resto es 0.
Una división es entera cuando el resto es distinto de cero.
Ejemplo: 8 : 3 = 2 es una división entera porque si repartimos 8
caramelos entre 3 niños a cada uno le tocan 2 caramelos y sobran 2. El resto es 2.
23. PRUEBA DE LA DIVISIÓN
Una división está bien realizada si al multiplicar el divisor por el cociente y sumarle el resto obtenemos el dividendo.
DIVIDENDO = (divisor x cociente) + resto
D = (d x c) + r
24. DIVISIÓN DE NÚMEROS ACABADOS EN CERO POR LA UNIDAD SEGUIDA DE CEROS
Para dividir un número terminado en ceros por10,100, 1000… eliminamos en el
número tantos ceros finales como ceros tenga el divisor.
Ejemplo:
754.000 : 100 = 7.540
25. PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LA DIVISIÓN
Si multiplicamos o dividimos el dividendo y el divisor por un mismo número el
cociente no varía, pero el resto queda multiplicado o dividido por el mismo número.
Ejemplo:
División inicial: 11 : 4 = 2 y de resto 3
Multiplico dividendo y divisor por 3: 11 x 3 = 33 4 x 3 = 12
Divido los resultados obtenidos: 33 : 12 = 2 y de resto
sale 9, que es igual al primer resto: 3, multiplicado por 3.
26. JERARQUÍA DE CÁLCULO EN OPERACIONES COMBINADAS
Cuando no hay paréntesis, primero se resuelven las multiplicaciones y las
divisiones, y después las sumas y las restas.
Ejemplo:
4 + 6 x 5 – 3 = 4 + 30 – 3 = 31
Cuando hay paréntesis, primero se realizan las operaciones que están dentro
del paréntesis y luego las de fuera.
Ejemplo:
(4 + 6) x (5 – 3) = 10 x 2 = 20
Unidad 2. Múltiplos y divisores
1. MÚLTIPLOS DE UN NÚMERO
Un número a es múltiplo de un número b si la división de a entre b es exacta.
Ejemplos: 24 es múltiplo de 8 porque la división 24:8 es exacta.
35 no es múltiplo de 6 porque la división 35:6 no es exacta.
Los múltiplos de un número se calculan multiplicando dicho número por los números
naturales, es decir, por 1, 2, 3, 4, ...
El conjunto de los múltiplos de un número a se escribe así:
•a = {a·1, a·2, a·3, a·4, a·5,...}
Ejemplo: Los múltiplos de 8 los calculamos multiplicando 8 por 1, por 2, por 3, ....
•8 = {8, 16, 24, 32, 40, 48,...}
Podemos calcular tantos múltiplos como queramos, pues el conjunto de los múltiplos
de un número es un conjunto infinito.
Con lo visto anteriormente, observamos que cualquier número es múltiplo de sí
mismo y de la unidad.
Ejemplo: Comprobamos que 5 es múltiplo de 5 y de 1.
La división 5:5 es exacta, por lo tanto 5 es múltiplo de 5.
La división 5:1 es exacta, por lo tanto 5 es múltiplo de 1.
2. DIVISORES DE UN NÚMERO
Un número a es divisor de un número b si la división de b entre a es exacta.
Ejemplos: 5 es divisor de 30 porque la división 30:5 es exacta.
9 no es divisor de 21 porque la división 21:9 no es exacta.
Para calcular todos los divisores de un número, dividimos dicho número entre los
números naturales, es decir, entre 1, 2, 3, ... hasta llegar a la división en la que el cociente sea menor que el divisor. De cada división exacta obtenemos dos divisores: el divisor y el cociente.
3. NÚMEROS PRIMOS Y NÚMEROS COMPUESTOS
Un número a es primo si sólo tiene como divisores el 1 y él mismo.
Para saber si un número es primo hallamos sus divisores y si únicamente tiene dos
divisores, el 1 y él mismo, entonces dicho número es primo.
Los primeros números primos son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, ...
Un número es compuesto cuando no es primo, es decir, cuando tiene más de dos
divisores.
El número 1 no se considera ni primo ni compuesto. Cualquier otro número natural o
bien es primo o bien es compuesto.
Ejemplo:
Los números 19 y 33, ¿son primos o compuestos?
Si calculamos los divisores de 19 y los de 33 obtenemos que:
Div(19) = { 1 , 19 } →19 sólo tiene dos divisores, así pues es un número primo.
Div(33) = { 1 , 3 , 11 , 33 } → 33 tiene más de dos divisores, por lo tanto es un
número compuesto.
4. CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
Los criterios de divisibilidad son unas reglas que nos permiten saber si un número se
puede dividir por otro (división exacta) sin realizar la división.
Entre los criterios existentes, los más importantes son los siguientes:
· Criterio del 2: un número es divisible por 2 si el número termina en 0 o en cifra par.
· Criterio del 3: un número es divisible por 3 si al sumar las cifras del número el
resultado es múltiplo de 3.
· Criterio del 5: un número es divisible por 5 si el número termina en 0 o en 5.
· Criterio del 10: un número es divisible por 10 si el número termina en 0.
5. MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO
El mínimo común múltiplo (mcm) de dos o más números es el menor de todos los
múltiplos que tienen en común dichos números.
El proceso que seguiremos para calcular el mcm de dos o más números será el
siguiente:
1. Factorizamos los números, es decir, los descomponemos como producto de
factores primos.
2. De las descomposiciones hechas, tomamos los factores primos comunes y no
comunes elevados al mayor exponente.
3. El mcm será el producto de los factores tomados en el paso anterior.
6. MÁXIMO COMÚN DIVISOR
El máximo común divisor (mcd) de dos o más números es el mayor de todos los
divisores que tienen en común dichos números.
El proceso a seguir para calcular el mcd de dos o más números será el siguiente:
1. Factorizamos los números, es decir, los descomponemos como producto de
factores primos.
2. De las descomposiciones hechas, tomamos sólo los factores primos comunes
elevados al menor exponente.
3. El mcd será el producto de los factores tomados en el paso anterior.
Unidad 3. Potencias y raíces
1. LA POTENCIA Y SUS ELEMENTOS
Una potencia es una manera abreviada de escribir una multiplicación cuyos factores
son iguales.
En la multiplicación b ⋅ b ⋅ b ⋅.....⋅ b , el número b está multiplicado por sí mismo c
veces. Mediante una potencia esta multiplicación se puede escribir así:
bc = b ⋅ b ⋅ b ⋅....⋅ b
(c veces)
Ejemplos: 36 = 3⋅3⋅3⋅3⋅3⋅3; 124 = 12 ⋅12 ⋅12 ⋅12
58 = 5⋅5⋅5⋅5⋅5⋅5⋅5⋅5 ; 25 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2
Los elementos de una potencia son:
· La base: es el número que se multiplica.
· El exponente: es el número de veces que se multiplica la base.
Base Exponente
Bc
Ejemplos:
36 La base es 3 y el exponente es 6
124 La base es 12 y el exponente es 4
58 La base es 5 y el exponente es 8
25 La base es 2 y el exponente es 5
¿Cómo se lee una potencia? Se dice que la base se “eleva” al exponente o también
se puede utilizar otra expresión dependiendo del exponente:
· Si el exponente es 2, se utiliza la expresión “al cuadrado”.
· Si el exponente es 3, se utiliza la expresión “al cubo”.
Y si el exponente es 4, 5, 6, ..., se expresa con el ordinal, es decir, “a la cuarta”,
“a la quinta”, “a la sexta”, etc.
Ejemplo. Veamos cómo se leen las siguientes potencias:
36 →“3 elevado a 6” o “3 a la sexta”
124 →“12 elevado a 4” o “12 a la cuarta”
58“→ 5 elevado a 8” o “5 a la octava”
25 →“2 elevado a 5” o “2 a la quinta”
72→ “7 elevado a 2” o “7 al cuadrado”
103→“10 elevado a 3” o “10 al cubo”
Para calcular el valor de una potencia sólo hay que realizar la multiplicación que nos
indica la potencia, es decir, multiplicamos la base tantas veces como nos diga el exponente.
Ejemplo. Vamos a calcular las siguientes potencias:
36= 3⋅3⋅3⋅3⋅3⋅3 = 729
124 = 12 ⋅12 ⋅12 ⋅12 = 20736
58 = 5⋅5⋅5⋅5⋅5⋅5⋅5⋅5 = 390625
25 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 32
72 = 7 ⋅ 7 = 49
103 = 10 ⋅10 ⋅10 = 1000
2. LAS POTENCIAS DE BASE 10
Una vez vistas las potencias y sus elementos, vamos a ver ahora unas potencias
particulares: aquellas cuya base es 10. Son muy útiles porque nos sirven para expresar
números muy grandes de una forma más simple y para descomponer números de forma
“polinómica”.
Una potencia de base 10 se calcula de una forma muy sencilla ya que es igual a la
unidad seguida de tantos ceros como indique el exponente.
Ejemplo. Vamos a calcular las siguientes potencias de base 10:
102 = 10 ⋅10 = 100
105 = 10 ⋅10 ⋅10 ⋅10 ⋅10 = 100.000
Observa a continuación, mediante los dos siguientes ejemplos, cómo se utilizan
estas potencias para descomponer números de forma “polinómica” y cómo expresar
números grandes de forma más simple.
3. LA RAÍZ CUADRADA
La raíz cuadrada de un número es otro número que si lo elevamos al cuadrado
obtenemos el primero. Es decir, para calcular la raíz cuadrada de un número tenemos que
encontrar el número que multiplicado por sí mismo da como resultado el primer número.
Esta operación se representa con el símbolo √
Ejemplo. Vamos a calcular las siguientes raíces cuadradas:
√36 = 6 porque 62 = 36
√81 = 9 porque 92 = 81
√4 = 2 porque 22 = 4
√100 = 10 porque 102 = 100
Unidad 4. Números decimales y operaciones
1. DÉCIMAS, CENTÉSIMAS Y MILÉSIMAS
Si dividimos una unidad en diez partes iguales, cada una es una décima.
Si dividimos una unidad en cien partes iguales, cada una es una centésima.
Si dividimos una unidad en mil partes iguales, cada una es una milésima.
1 décima = 1 : 10 = 0,1
1 centésima = 1 : 100 = 0,01
1 milésima = 1 : 1000 = 0,001
2. PARTES DE UN NÚMERO DECIMAL
Una fracción se puede aplicar a un número; esto es lo que se llama actuar como
operador. Se hace multiplicando el número por el numerador y, después, el resultado se
divide entre el denominador.
Los números decimales tienen dos partes separadas por una coma. La parte entera
va delante de la coma y está formada por unidades, decenas, centenas, unidades de
millar, decenas de millar, centenas de millar… La parte decimal va detrás de la coma y
está formada por décimas, centésimas, milésimas, diezmilésimas, cienmilésimas…
3. LECTURA Y ESCRITURA DE NÚMEROS DECIMALES
Para leer un número decimal:
1º Leemos por separado la parte entera y la parte decimal.
Ejemplo: 234.698 unidades y 125 milésimas.
2º Leemos la parte decimal y la parte entera separadas por la palabra coma.
Ejemplo: 234.698 coma 125.
4. DESCOMPOSICIÓN DE NÚMEROS DECIMALES Y VALOR
RELATIVO DE LAS CIFRAS
El valor de las cifras de un número decimal depende de la posición que
ocupan. El 2 de la parte entera representa centenas de millar y vale 200.000, mientras que
el 2 de la parte decimal corresponde a centésimas y vale 0,02.
Ejemplo:
234.698,125 =
= 2 CM + 3 DM + 4 UM + 6 C + 9 D + 8 U + 1 d + 2 c + 5 m =
= 200.000 + 30.000 + 4.000 + 600 + 90 + 8 + 0,1 + 0,02 + 0,005
5. COMPARACIÓN Y ORDENACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES
Para comparar números decimales:
1º Comparamos la parte entera y vemos cuál es la mayor. Es mayor el decimal
que tiene la parte entera más grande.
2º Si coincide la parte entera, comparamos las décimas y vemos quién tiene más
grande la cifra de las décimas.
3º Si coinciden las décimas, comparamos las cifras de las centésimas.
4º Si coinciden las centésimas, comparamos las cifras de las milésimas.
5º Y así sucesivamente.
Ejemplo: 235,627 > 235,629
Ambos números decimales tienen iguales las cifras de las centenas, decenas, unidades,
décimas y centésimas; pero como el primero tiene la cifra de las milésimas (7) mayor que
la cifra de las milésimas del segundo (9), el primer número es mayor que el segundo.
6. REDONDEO DE NÚMEROS DECIMALES
Para redondear un número a las décimas, eliminamos las cifras que van
después de las décimas y si la cifra de las centésimas es menor que 5 se queda como
está. Pero si la cifra de las centésimas es igual o mayor que 5, sumamos uno a las
décimas.
Ejemplo:
34,268 Redondeado a las décimas = 34,3
49,239 Redondeado a las décimas = 49,2
Para redondear un número a las centésimas, eliminamos las cifras que van
después de las centésimas y si la cifra de las milésimas es menor que 5 se queda como
está. Pero si la cifra de las milésimas es igual o mayor que 5, sumamos uno a las
centésimas.
Ejemplo:
34,216 Redondeado a las centésimas = 34,22
49,263 Redondeado a las centésimas = 49,26
Para redondear un número a las unidades, eliminamos las cifras que van
después de la coma decimal y si la cifra de las décimas es menor que 5 nos quedamos
con la parte entera como está. Pero si la cifra de las décimas es igual o mayor que 5,
sumamos uno a la parte entera.
Ejemplo:
34,281 Redondeado a las unidades = 34
49,529 Redondeado a las decenas = 50
7. EXPRESIÓN DE LOS NÚMEROS DECIMALES EN FORMA DE
FRACCIÓN
Para representar un decimal en forma de fracción ponemos el número sin coma en
el numerador y en el denominador la unidad seguida de tantos ceros como cifras tenga la parte decimal del número considerado.
Ejemplo:
27,19 = 2.719 / 100
8. SUMA Y RESTA DE NÚMEROS DECIMALES
Para sumar números decimales:
1º Colocamos unos números debajo de otros, alineando las cifras de modo que
las comas coincidan en columna.
2º Procedemos a sumar como en una suma normal.
3º Y al final escribimos la coma en el resultado, de modo que coincida debajo de
las comas que figuran en los números sumados.
Para restar números decimales:
1º Colocamos el menor debajo del mayor, alineando sus cifras de modo que las
comas coincidan en columna.
2º Procedemos a restar como lo haríamos en una resta normal, pero teniendo en
cuenta que si faltan cifras decimales en el minuendo se colocan ceros.
3º Y al final escribimos la coma en el resultado, de modo que coincida debajo de
las comas que figuran en los números restados.
Ejemplo:
127,428 + 72,19 + 13,45 + 345 + 2,4 = 560,468
927,58 – 75,2543 = 852,3257
9. MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES
Para multiplicar dos números decimales:
1º Multiplicamos los números sin tener en cuenta las comas, de igual modo que si se
tratase de una multiplicación normal.
2º Separamos en el resultado con una coma tantas cifras decimales como juntan entre los dos números multiplicados.
315,25 x 42,1 = 13.272,025 Como el primer número tiene dos decimales y el segundo uno, el resultado tendrá tres decimales.
10. DIVISIONES EQUIVALENTES
Recuerda que llamamos divisiones equivalentes a las que tienen el mismo cociente. Para obtener divisiones equivalentes basta con multiplicar o dividir el dividendo y el divisor por un mismo número.
2 : 8 = 0, 25
Multiplicando dividendo y divisor por 10 resulta que 20 : 80 = 0,252 : 8 y 20 : 80 son divisiones equivalentes porque sale el mismo resultado en el cociente (0,25).
11. CASOS QUE SE DAN EN LA DIVISIÓN DE NÚMEROS
DECIMALES
División de un número natural entre otro mayor: sale cociente decimal.- Cuando dividimos un número entre otro mayor:
1º Colocamos un cero en el cociente seguido de una coma.
2º Añadimos un cero en el dividendo.
3º Procedemos a dividir como una división normal. División de un número decimal entre un número natural.- Para dividir un decimal entre un número natural:
1º Dividimos como en una división normal, es decir, como si ninguno de los
números fuese decimal.
2º Pero al bajar la primera cifra decimal, ponemos una coma en el cociente, de modo
que en el cociente resulta un número decimal.
División de un decimal por la unidad seguida de ceros.- Para dividir un número
decimal por la unidad seguida de ceros basta desplazar la coma hacia la izquierda tantos
lugares como ceros acompañan a la unidad.
45,26 : 10 = 4,526 34.278,3 : 100 = 342,783 59.120,2 : 1.000 = 59,1202
División de un número natural entre un número decimal.- Para dividir un número
natural por un decimal:
1º Quitamos los decimales del divisor.
2º Añadimos tantos ceros en el dividendo como cifras decimales tenía el divisor.
3º Procedemos a dividir como lo haríamos en una división normal.
Lo que realmente hemos hecho ha sido transformar la división en otra equivalente, pero sin decimales en el divisor. O sea, multiplicar dividendo y divisor por la unidad seguida de tantos ceros como sean necesarios (10, 100, 1.000, 10.000….) para que desaparezca la coma decimal del divisor.
Para dividir 735 entre 4,2 quitamos la cifra decimal del divisor y añadimos un 0 al
dividendo, con lo que nos queda 7.350 : 42, que es una división equivalente, en la que sale el mismo cociente y que se realiza como un caso de división entre números naturales(realmente hemos multiplicado dividendo y divisor por 10).
735 : 4,2 = 175 7350 : 42 = 175
División de dos números decimales.- Para dividir dos números decimales:
1º Quitamos los decimales del divisor.
2º Desplazamos la coma en el dividendo tantos lugares como cifras decimales tenía el divisor (si es necesario, añadimos ceros).
3º Procedemos a dividir como lo haríamos en una división normal o en una división de decimal entre natural, que ya hemos visto con anterioridad.
Lo que realmente hemos hecho ha sido transformar la división en otra equivalente,
pero sin decimales en el divisor. O sea, multiplicar dividendo y divisor por la unidad seguida de tantos ceros como sean necesarios (10, 100, 1.000, 10.000….) para que desaparezca la coma decimal del divisor.
Para dividir 73,5 entre 0,42 quitamos las cifras decimales del divisor y desplazamos
la coma en el dividendo dos lugares hacia la derecha. Como solo tiene un decimal el
dividendo, quitamos la coma y añadimos un cero. Con lo que nos queda 7.350 : 42, que es una división equivalente, en la que sale el mismo cociente y que se realiza como un caso de división entre números naturales (coincide con la realizada en el apartado anterior). (realmente hemos multiplicado denominador.
dividendo y divisor por 10).
73,5 : 0,42 = 175 7350 : 42 = 175
División entre dos números naturales para que salga cociente decimal.- Se
procede como en una división de decimal entre número natural, para lo cual basta añadir
una coma decimal en el dividendo y poner tantos ceros detrás como cifras decimales
pretendamos obtener en el cociente.
Si queremos dividir 73 entre 4 y que en el cociente obtengamos dos cifras decimales, lo que tenemos que hacer es añadir dos ceros decimales al dividendo y resolver la división correspondiente.
Unidad 5. Fracciones y operaciones
1. FRACCIONES
Una fracción es una expresión de la forma
a/b, siendo a y b números naturales.
a →numerador
b →denominador
Las fracciones se utilizan para representar una parte respecto a un todo, que
llamamos la unidad.
· Denominador: indica el número de partes iguales en que está dividida la
unidad.
· Numerador: indica el número de partes que tomamos de la unidad.
Las fracciones pueden ser:
· Menores que la unidad: son aquellas en las que el numerador es menor que el
denominador. También se llaman fracciones propias.
· Mayores que la unidad: son aquellas en las que el numerador es mayor que el
denominador. También se llaman fracciones impropias.
· Iguales que la unidad: son aquellas en las que el numerador es igual que el
2. LA FRACCIÓN COMO OPERADOR Y COMO NÚMERO
Una fracción se puede aplicar a un número; esto es lo que se llama actuar como
operador. Se hace multiplicando el número por el numerador y, después, el resultado se
divide entre el denominador.
3. FRACCIONES EQUIVALENTES
Dos fracciones son equivalentes si representan la misma parte de la unidad
Otra forma de saber si dos fracciones son equivalentes es si al multiplicar “en cruz”
los numeradores y denominadores de ambas fracciones se obtiene el mismo resultado.
Hay dos formas de obtener fracciones equivalentes a una fracción: por amplificación
y por simplificación.
· Amplificación: si multiplicamos el numerador y el denominador de una fracción por un mismo número, obtenemos una fracción equivalente.
· Simplificación: si dividimos el numerador y el denominador de una fracción por un mismo número, obtenemos una fracción equivalente.
Una fracción se llama irreducible cuando no se puede simplificar.
4. REDUCCIÓN DE FRACCIONES A COMÚN DENOMINADOR
Reducir fracciones a común denominador es encontrar fracciones equivalentes a
ellas con un mismo denominador. Se hace de la siguiente forma:
1º) Calculamos el mínimo común múltiplo de los denominadores y éste será el nuevo
denominador de las fracciones.
2º) Después se calculan los numeradores dividiendo el nuevo denominador entre el
anterior y multiplicando por el numerador.
La reducción de fracciones a común denominador se aplica para sumar y restar
fracciones, como veremos en el apartado siguiente. También se utiliza para comparar
(ordenar) fracciones.
Para comparar u ordenar fracciones tenemos que reducirlas a común denominador y,
una vez hecho esto, se comparan los numeradores. Será mayor la que tenga mayor
numerador y, de igual forma, será menor la que tenga menor denominador.
5. OPERACIONES CON FRACCIONES
SUMA Y RESTA DE FRACCIONES
Se distinguen dos casos:
1º) Si las fracciones tienen el mismo denominador.
2º) Si las fracciones tienen distinto denominador.
1º) Para sumar o restar fracciones con el mismo denominador se suman o restan los
numeradores y el denominador se deja igual.
2º) Para sumar o restar fracciones con distinto denominador hay que reducirlas
primero a común denominador, y después se suman o restan como fracciones que tienen el
mismo denominador.
MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES
El resultado de multiplicar dos o más fracciones es otra fracción cuyo numerador el
producto de los numeradores y el denominador es el producto de los denominadores.
DIVISIÓN DE FRACCIONES
El resultado de dividir dos fracciones es otra fracción cuyo numerador es el producto
del numerador de la primera por el denominador de la segunda, y el denominador es el
producto del denominador de la primera por el numerador de la segunda. Esto es lo que se
llama multiplicar “en cruz” las fracciones.
Unidad 6. Porcentajes y proporcionalidad
1. EL PORCENTAJE O TANTO POR CIENTO
El porcentaje representa una parte del total. Se expresa con un número seguido
del símbolo %. También se representa con una fracción de denominador 100.
2. CÁLCULO DEL PORCENTAJE O TANTO POR CIENTO
Para calcular el porcentaje de una cantidad se multiplica el número del porcentaje
por la cantidad y se divide por cien.
Ejemplo: Si el colegio tiene 300 alumnos, para saber el número de alumnos a los que les
gusta practicar el baloncesto basta calcular el 25 % de 300.
25% de 300 = (25 x 300) : 100 = 7.500 : 100 = 75
75 son los alumnos del colegio a los que les gusta practicar el baloncesto.
3. APLICACIÓN DEL PORCENTAJE O TANTO POR CIENTO A PROBLEMAS DE LA VIDA REAL
Situaciones de descuento: Calculamos el valor del descuento y se lo restamos al
valor inicial.
sumamos al valor inicial.
Ejemplo de descuento: El pantalón de Pablo valía 40 euros. Si en las rebajas de
enero le hacen un descuento del 30%, ¿cuánto debe pagar?
Descuento = 30% de 40 = (30 x 40) : 100 = 1.200 : 100 = 12 euros
40 – 12 = 28 euros debe pagar
Ejemplo de aumento o recargo: La falda que quiere comprar Rita cuesta 30 euros
sin IVA en la tienda. Si el IVA es del 16%, ¿a cuánto asciende la compra de Rita?
Aumento = 16% de 30 = (16 x 30) : 100 = 480 : 100 = 4,8 euros
30 + 4,8 = 34,8 euros
A 34 euros y 80 céntimos asciende la compra de Rita.
4. CANTIDADES PROPORCIONALES
Dos cantidades son proporcionales si a medida que una aumenta o disminuye la
otra aumenta o disminuye en la misma proporción.
Para comprobar si dos cantidades son proporcionales basta con comprobar si a
doble de una corresponde doble de la otra, si al triple de la una corresponde el triple de la
otra, si a la mitad de la una corresponde la mitad de la otra y así sucesivamente.
5. TABLAS DE EQUIVALENCIAS
Para escribir dos series de cantidades proporcionales recurrimos a tablas de
equivalencia, como la que expresa el número de docenas y el número de huevos del
apartado anterior.
Para construir tablas de equivalencia basta averiguar la regla que siguen las
cantidades y ver por qué número se divide o multiplica la primera fila para obtener la
segunda. En el caso de las docenas y los huevos se multiplican las docenas por 12 para
hallar las cantidades correspondientes a los huevos. En el siguiente ejemplo basta
multiplicar el nº de sacos por 20 o en dividir el peso en kg entre 20 para obtener la tabla de equivalencia.
6. MAGNITUDES PROPORCIONALES
Dos magnitudes son proporcionales si a medida que las cantidades de la una
aumentan o disminuyen las de la otra aumentan o disminuyen en la misma
proporción. Es decir, con ambas magnitudes podemos formar dos series de cantidades
proporcionales.
7. CÁLCULO DE CANTIDADES PROPORCIONALES
Para calcular cantidades proporcionales y construir las correspondientes
tablas de equivalencia:
1º Escribimos la tabla de equivalencias con los datos que disponemos.
2º Reducimos a la unidad, es decir, calculamos el valor que corresponde al 1.
3º Calculamos el dato o los datos que nos faltan.
8. UN CASO DE PROPORCIONALIDAD: LA ESCALA
La escala de mapas y planos es un caso de proporcionalidad y se expresa con un
cociente. El número pequeño representa la distancia medida en el plano y el grande la
distancia proporcional que le corresponde en la realidad.
Ejemplo: Si el plano de una casa tiene como escala 1:50, quiere decir que cada cm que
midamos sobre el papel corresponde a 50 cm en la realidad.
1 cm del mapa = 50 cm en la realidad.
50 cm = 0,5 m
Por tanto cada cm medido en el plano de la casa equivale a medio m real en la casa
edificada.
Unidad 7. Los números enteros
1. LOS NÚMEROS ENTEROS
En la vida se nos presentan muchas veces situaciones que no pueden expresarse
mediante los números naturales. En este caso se necesitan otro tipo de números, que son
los números enteros.
Los números enteros son:
· Positivos: +1, +2, +3, +4, +5, ....
· Negativos: -1, -2, -3, -4, -5, ....
· El cero: 0. (El cero es el único número que no es ni positivo ni negativo).
Los números positivos expresan situaciones relacionadas con ‘sumar’, ‘tener’, ‘estar
por encima de’, etc. En cambio, los negativos se relacionan con situaciones de ‘restar’,
‘deber’, ‘estar por debajo de’, ‘gastar’, etc.
2. REPRESENTACIÓN Y ORDENACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS
Los números enteros se representan, de forma ordenada, sobre una recta llamada la
recta numérica:
Como vemos en el dibujo, se sitúa el cero en la mitad de la recta. Los positivos se
representan a la derecha del cero y los negativos a su izquierda.
Esta representación en la recta numérica nos sirve para poder comparar números
enteros:
· Un número entero es mayor que otro si está situado más a la derecha en la recta
numérica.
· De igual forma, un número entero es menor que otro si está situado más a la
izquierda en la recta numérica.
3. OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS
La suma y la resta de números enteros la vamos a realizar de forma gráfica, es decir,
utilizando la recta numérica.
SUMA
Para sumar un número positivo nos desplazamos en la recta numérica, partiendo
desde el primer sumando, hacia la derecha tantas unidades como nos indique el segundo
sumando.
RESTA
Para restar un número positivo nos desplazamos en la recta numérica, partiendo
desde el minuendo, hacia la izquierda tantas unidades como nos indique el sustraendo.
MULTIPLICACIÓN
La multiplicación de números enteros se realiza igual que la de números naturales,
pero añadiendo el signo al resultado, que puede ser positivo o negativo.
Si multiplicamos dos números enteros que tienen el mismo signo, es decir, que los
dos son positivos o los dos son negativos, el resultado es positivo.
Y si multiplicamos dos números enteros que
DIVISIÓN
La división de números enteros se realiza igual que la de números naturales, pero
añadiendo el signo al resultado, que puede ser positivo o negativo.
Si dividimos dos números enteros que tienen el mismo signo, es decir, que los dos
son positivos o los dos son negativos, el resultado es positivo.
Y si dividimos dos números enteros que tienen distinto signo, es decir, uno es
positivo y el otro negativo, el resultado es negativo.
Unidad 8. Sistema métrico decimal
1. MAGNITUDES
El Sistema Métrico Decimal es un sistema de medida que se utiliza en la mayoría de
los países del mundo, entre ellos el nuestro, España. Se llama “Decimal” porque las
unidades de medida se relacionan entre ellas mediante potencias de base 10.
Una magnitud es cualquier característica que puede ser medida y expresada de
forma numérica, es decir, mediante un número.
Para medir cualquier magnitud tomamos una referencia, que es la unidad de medida.
Cada magnitud tiene sus unidades de medida: una que es la principal y las demás que son múltiplos y submúltiplos de ella.
La longitud se define como la magnitud que expresa la distancia entre dos puntos. La
principal unidad de medida de longitud es el metro (m).
3. MASA (PESO)
La masa se define como la magnitud que expresa la cantidad de materia que
contiene un cuerpo. La principal unidad de medida de masa es el gramo (g). También se
considera igual de importante el kilogramo (kg).
4. CAPACIDAD
La capacidad se define como la magnitud que expresa el espacio contenido en un
cuerpo. La principal unidad de medida de capacidad es el litro (l).
5. SUPERFICIE
La superficie se define como la magnitud que expresa la extensión de un cuerpo en
dos dimensiones. La principal unidad de medida de superficie es el metro cuadrado (m2 )
Unidad 9. Los ángulos
1. LOS ÁNGULOS: DEFINICIÓN Y ALIMENTOS.
Cada una de las cuatro regiones que se forman cuando se cortan dos rectas se llama ángulo. Un ángulo tiene dos lados y un vértice.
Cuando se cortan dos rectas perpendiculares se forman 4 ángulos rectos.
2. TIPOS DE ÁNGULOS
Ángulo recto: cada uno de los cuatro ángulos que se forman al cortarse dos rectas
perpendiculares. Un ángulo recto mide 90º.
Ángulo agudo: es menor que un ángulo recto y mide menos de 90º.
Ángulo obtuso: es mayor que un ángulo recto y mide más de 90º.
Ángulo llano: es igual a dos ángulos rectos y mide 180º.
Ángulo nulo es el de 0º y ángulo completo el de 360º.
3. ÁNGULOS: SISTEMA SEXASEGIMAL Y UNIDADES DE MEDIDA
El sistema sexagesimal es un sistema de numeración en el que cada
unidad se divide en 60 unidades de orden inferior. Se aplica en la actualidad
a la medida del tiempo y a la medida de ángulos.
Los ángulos se miden en grados, minutos y segundos. Un grado es igual a 60
minutos y 1 minuto es igual a 60 segundos.
4. TRANSPORTADOR Y MEDIDA DE ÁNGULOS
El transportador es el instrumento que sirve para medir los ángulos. Está dividido en
180 partes iguales, cada una de las cuales es un grado. Los ángulos se miden en grados
sexagesimales.
Para medir un ángulo:
1º Hacemos coincidir el vértice del ángulo con la marca que hay en el centro de la
parte recta del transportador.
2º Hacemos coincidir un lado del ángulo con el 0 de la escala del transportador.
3º Miramos que número señala el otro lado en la escala del transportador y ésa es la
medida del ángulo.
Ángulo agudo de 50º
5. SUMA DE ÁNGULOS
Para sumar medidas angulares:
1º Se colocan los grados debajo de los grados, los minutos debajo de los minutos y los segundos debajo de los segundos, y se suman.
2º Si el número de segundos pasa de 60, se divide dicha cantidad entre 60. El resto serán los segundos resultantes (12”) y el cociente se suma a los minutos. Quedan 96’ y 12 “.
3º Se hace los mismo con los minutos (si el número de minutos pasa de 60, se divide entre 60; el resto serán los minutos resultantes y el cociente se suma a los grados). Quedan 36’ y 60º.
Resultado final de la suma: 60º 36’ 12”
6. RESTA DE ÁNGULOS
Para restar medidas angulares:
1º Se colocan los grados debajo de los grados, los minutos debajo de los minutos y
los segundos debajo de los segundos.
2º Luego se restan las cantidades como en una resta normal.
3º Puede suceder que el número de minutos(o de segundos) del minuendo sea menor que el del sustraendo y no podamos restar. Entonces necesitamos preparar la cuenta para que podamos realizarla. Quitamos un grado del número de grados del minuendo, lo pasamos a minutos (60 minutos) y le sumamos los 60 minutos a los minutos del minuendo.
Luego se restan los minutos. Para el caso de que el número de segundos del minuendo sea menor que el del sustraendo, quitamos un minuto del número de minutos del minuendo, lo pasamos a segundos (60 segundos) y le sumamos los 60 segundos a los segundos del minuendo. Finalmente se restan los segundos.
Resultado final de la resta: 51º 30’ 47”
7. MEDIDAS ANGULARES COMPLEJAS E INCOMPLEJAS
Medidas angulares complejas son las que se expresan con distintas clases de
unidades. Ejemplo: 25º 16’ 39”
Medidas angulares incomplejas son las que se expresan con una sola clase de
unidades. Ejemplo: 325º
8. PASO DE MEDIDAS COMPLEJAS A INCOMPLEJAS
Para pasar de medidas complejas a incomplejas hay que transformar cada una de
las unidades que tenemos a la que queremos obtener como resultado final y sumar los
resultados.
En la práctica debemos pasar todas las cantidades a grados, o todas a minutos o
todas a segundos y sumar los resultados.
Ejemplo: Pasa a segundos la siguiente medida compleja: 14º 23’ 45”
9. PASO DE MEDIDAS INCOMPLEJAS A COMPLEJAS
Debemos proceder de la siguiente forma:
1º Pasamos los segundos a minutos dividiendo por 60. El resto son los segundos
de la medida compleja.
2º Los minutos del cociente anterior los pasamos a grados dividiendo por 60. El
cociente resultante son los grados y el resto los segundos de la medida compleja. Y está
resuelto el problema.
11. ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS Y ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS
Ángulos complementarios son los que suman 90º, o sea, un ángulo recto. Un
ángulo de 30º y otro de 60º son complementarios porque suman 90º.
30º + 60º = 90º
Ángulos suplementarios son los que suman 180º, o sea, un ángulo llano.
Un ángulo de 150º y otro de 30º son complementarios porque suman 180º.
150º + 30º = 180ºPasa a grados, minutos y segundos la siguiente cantidad compleja: 225.618”
11. ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS Y ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS
Ángulos complementarios son los que suman 90º, o sea, un ángulo recto. Un
ángulo de 30º y otro de 60º son complementarios porque suman 90º.
30º + 60º = 90º
Ángulos suplementarios son los que suman 180º, o sea, un ángulo llano.
Un ángulo de 150º y otro de 30º son complementarios porque suman 180º.
150º + 30º = 180º
11. ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS Y ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS
Ángulos consecutivos son los que tienen el mismo vértice y un lado en común. Van
seguidos, uno pegado al otro.
Ángulos adyacentes son dos ángulos consecutivos, que tienen los lados no
comunes situados uno en prolongación del otro. Por tanto forman un ángulo llano y son
suplementarios (suman 180º).
11. BISECTRIZ DE UN ÁNGULO
La bisectriz de un ángulo es la semirrecta que pasa por el vértice y lo divide en dos partes iguales. Si un ángulo mide 60º, su bisectriz lo divide en dos ángulos iguales de 30º cada uno.
Unidad 10. Figuras planas: polígonos circunferencia y círculo
1. POLÍGONOS: DEFINICICIÓN, ELEMENTOS Y CLASIFICACIÓN
Un polígono es el área comprendida dentro de una línea poligonal cerrada. En un polígono podemos enumerar los siguientes elementos:
Lados: son los segmentos que limitan el polígono.
Vértices: son los puntos de unión de dos lados (los picos).
-Ángulos: son las regiones comprendidas entre dos lados que se juntan (los rincones).
-Diagonales: son los segmentos que unen dos vértices no consecutivos.
-Apotema: es el segmento de une el centro del polígono con la mitad del lado.
2. LONGITUD
Los polígonos se clasifican según el número de lados en:
- Triángulos, cuando tienen 3 lados.
- Cuadriláteros, cuando tienen 4 lados.
- Pentágonos, cuando tienen 5 lados.
- Hexágonos, cuando tienen 6 lados.
- Heptágonos, cuando tienen 7 lados.
- Octógonos, cuando tienen 8 lados.
- Eneágonos, cuando tienen 9 lados.
- Decágonos, cuando tienen 10 lados.
- Y así sucesivamente.
3. POLÍGONOS REGULARES
Decimos que un polígono es regular cuando tiene todos los lados de la misma longitud y todos sus ángulos iguales.
4. CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS
La capacidad se define como la magnitud que expresa el espacio contenido en un
cuerpo. La principal unidad de medida de capacidad es el litro (l).
Los triángulos son los polígonos que tienen tres lados y tres vértices.
Por la longitud de los lados los triángulos pueden ser:
- Equiláteros, si tienen todos los lados iguales.
- Isósceles, si tienen dos lados iguales y uno desigual.
- Por la forma de los ángulos los triángulos pueden ser:
- Rectángulos, si tienen un ángulo recto.
- Obtusángulos, si tienen un ángulo obtuso.
- Acutángulos, si tienen los tres ángulos agudos.
5. SUMA DE LOS ÁNGULOS DE UN TRIÁNGULO
Los tres ángulos de cualquier triángulo suman 180º (dos ángulos rectos).
6. CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS CUADRILÁTEROS
Los cuadriláteros son los polígonos que tienen cuatro lados y cuatro vértices. Se
clasifican en paralelogramos y no paralelogramos.
Los cuadriláteros paralelogramos son los que tienen los lados paralelos dos a dos y
pueden ser cuadrados, rectángulos, rombos y romboides.
Los cuadriláteros no paralelogramos se dividen en trapecios (que sólo tienen dos
lados paralelos) y trapezoides (que no tienen ningún lado paralelo).
7. SUMA DE ÁNGULOS DE UN CUADRILÁTERO
Los cuatro ángulos de cualquier cuadrilátero suman 360º, que equivale a cuatro
ángulos rectos.
8. PERÍMETRO DE UN POLÍGONO
El perímetro de un polígono es la suma de la medida de todos sus lados. Para
hallar el perímetro de un polígono regular, como tiene todos los lados iguales, basta
multiplicar la medida de un lado por el número de lados que tiene.
Ejemplo: Calcula el perímetro de un rectángulo que
mide 10 m de largo y 4 de ancho.
Perímetro = 10 + 10 + 4 + 4 = 20 metros
9. ÁREA DEL TRIÁNGULO
El área del triángulo es igual al producto de la base por la altura dividido por dos.
A = (b x h) : 2
Ojo: La altura de un triángulo es la perpendicular que va desde el vértice a la base o a una
prolongación de la misma.
Ejemplo: Halla el área de un triángulo que tiene 25 cm de base y 30 de altura.
A = (b x h) : 2 = (25 x 30) : 2 = 750 : 2 = 385 cm²
10. ÁREA DEL CUADRADO
El área del cuadrado es igual al producto
de lado por lado.
A = lado x lado = l x l = l²
11. ÁREA DEL RECTÁNGULO
El área del rectángulo es igual al producto de la base por la altura.
A = base x altura = b x h
12. ÁREA DEL ROMBOIDE
El área del romboide es igual al producto de la base por la altura.
A = base x altura = b x h
13. ÁREA DEL ROMBO
El área del rombo es igual al producto de la diagonal mayor por la diagonal menor
dividido por dos.
A = (diagonal mayor x diagonal menor) : 2 = ( D x d ) : 2
Recuerda: Diagonal es cada uno de los segmentos que unen dos vértices no consecutivos.
El rombo tiene dos diagonales.
Ejemplo: Halla el área de un rombo sabiendo que sus diagonales miden
respectivamente 20 y 30 cm cada una.
A = ( D x d ) : 2 = (20 x 30) : 2 = 600 : 2 = 300 cm²
14. ÁREA DE LOS POLÍGONOS REGULARES
Para calcular el área de un polígono regular multiplicamos el perímetro por la
apotema y dividimos por dos.
A = (Perímetro x apotema) : 2 = (nº de lados x lado x apotema) : 2
Ejemplo: Calcula el área de un octógono que tiene 5 cm de lado y 3 cm de apotema.
El octógono tiene 8 lados.
A = (Perímetro x apotema) : 2 = (nº de lados x lado x apotema) : 2 =
= (8 lados x 5 cm x 3 cm) : 2 = 120 : 2 = 60 cm²
Recuerda: - Apotema es el segmento que une el centro del polígono con la mitad del lado.
- Un polígono es regular cuando tienen todos los lados de la misma longitud y todos
sus ángulos iguales.
- Para hallar el perímetro de un polígono regular, como tiene todos los lados iguales,
basta multiplicar la medida de un lado por el número de lados que tiene.
15. LA CIRCUNFERENCIA Y EL CÍRCULO: DEFINICIÓN
Una circunferencia es una línea curva, plana y
cerrada cuyos puntos están a la misma distancia de un
punto interior llamado centro. Por tanto la circunferencia
tiene longitud, pero no superficie.
Ejemplos de circunferencia: anillo, aro.
Un círculo es la superficie plana comprendida dentro de
una circunferencia.
Ejemplos de círculo: moneda, disco
16. ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA Y EL CÍRCULO
Cuerda: es el segmento que une dos puntos de la circunferencia.
Radio: es el segmento que va desde cualquier punto de la circunferencia hasta el
centro.
Diámetro: es la cuerda que pasa por el centro y equivale a dos radios.
Diámetro = 2 x radio
Arco: es la parte de circunferencia comprendida entre dos puntos.
El diámetro divide a la circunferencia y al círculo en dos partes iguales que se llaman respectivamente semicircunferencias y semicírculos.
Dos circunferencias concéntricas son las que tienen el mismo centro.
17. FIGURAS CIRCULARES: SECTOR, SEGMENTO Y CORONA
CIRCULAR
Sector circular: es la parte de círculo comprendida entre dos radios y su arco.
Segmento circular: es la parte de círculo comprendida entre una cuerda y su arco.
Corona circular: es la superficie comprendida entre dos circunferencias que tienen
el mismo centro, pero distinto radio
18. EL NÚMERO “PI” π
Es el resultado que sale siempre al dividir la longitud de cualquier circunferencia entre su diámetro. Su valor es aproximadamente 3,14.
L : d = π = 3,14
19. LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA
Es el resultado que sale siempre al dividir la longitud de cualquier circunferencia
entre su diámetro. Su valor es aproximadamente 3,14.
L = d x π = 2 x π x r
Ejemplo: Halla la longitud de una circunferencia que tiene 5 cm de radio.
L = 2 x π x r = 2 x 3,14 x 5 = 10 x 3,14 = 31,4 cm²
20. ÁREA DEL CÍRCULO
El área del círculo es igual a π por el radio elevado al
cuadrado.
A = π x r²
Referencia bibliográfica
S/A. (16 de 09 de 2016). Números Naturales y Operaciones . Obtenido de Escuela de Verano : http://escueladeverano.net/matematicas/contenidos_unidades/estudio_mate.pdf
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